Question

16．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．

Answer 1

分析 连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．

解答 解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
 故答案为：50°．
方法二：
连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°-130°=50°

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．