Question

【题目】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，动点P在线段AC上从点A向点C以4个单位/秒的速度运动，过点P作EF⊥AC，交菱形ABCD的边于点E、F，在直线AC上有一点G，使△AEF与△GEF关于EF对称．设菱形ABCD被四边形AEGF盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，点P运动时间为x秒．

（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；

（2）若S1＝S2，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜x≤2时，，；当2＜x＜4时， ，S2＝48x﹣96；（2）或x＝3.

【解析】

（1）首先证得EF∥BD，证得△AEF∽△ADB，求得EF，进一步得出AP，分点P从点A到点O，从点O到点C两种情况，利用菱形的面积计算方法求得S1，S2；

（2）由（1）中的两个面积建立方程求得x的数值即可．

解：（1）由题得，EF⊥AC，BD⊥AC，

∴EF∥BD

∴△AEF∽△ADB

∴，

∴EF＝6x，

又∵AP＝PG＝4x

∴当0＜x≤2时，

∴，，

当2＜x＜4时，EF＝24﹣6x，

∴，S2＝48x﹣96．

（2）当0＜x≤2时，

24x2＝96﹣24x2，

解得：；

当2＜x＜4时，

192﹣48x＝48x﹣96，

解得：x＝3．