Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长．

②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．

（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①﹣m2+3m，②(，﹣)；（3）存在，点M的坐标为(2，3)，( 2，1﹣2)或(2，1+2)

【解析】

（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；

（2）①先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；

②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；

（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，

∴，

解得：；

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图：

①设P（m，m2﹣4m+3），

将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．

∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，

∴D（m，﹣m+3），

∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．

答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．

②S△PBC＝S△CPD+S△BPD

＝OBPD＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+．

∴当m＝时，S有最大值．

当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．

∴P（，﹣）．

答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．

（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．

根据题意，点E（2，1），

∴EF＝CF＝2，

∴EC＝，

根据菱形的四条边相等，

∴ME＝EC＝，

∴M（2，1﹣）或（2，1+）

当EM＝EF＝2时，M（2，3）

∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．