题目内容
5．
如图，在矩形ABCD中，∠CAB=30°，BC=4$\sqrt{3}$cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．
分析 （1）先判断出∠DAO=∠BAC即可得出结论；
（2）先表示出AP，用三角形的面积公式直接得出结论；
（3）先表示出AP，B'P，分三种情况用勾股定理建立方程求解即可．
解答 解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CAD=60°，
由折叠得，∠B'AC=∠CAB=30°，
∴∠DAO=∠CAD-∠B'AC=30°=∠BAC，
∵∠ADO=∠ABC=90°，
∴△ADO∽△ABC；
（2）如图，
连接PC，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$BC=12，
由折叠知AB'=AB=12，
由运动知，AP=2t，
由折叠得，B'C=BC=4$\sqrt{3}$cm，
∴S=S△APC=$\frac{1}{2}$AP•B'C=$\frac{1}{2}$×2t×4$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$t（0＜t≤6）；
（3）能构成直角三角形，
由运动知，AP=2t，B'P=AB'-AP=12-2t，
∵以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形，
∴①AP2+B'P2=BC2，
∴（2t）2+（12-2t）2=48，
∴此方程无解；
②AP2+BC2=B'P2，
∴（2t）2+48=（12-2t）2，
∴t=2，
∴AP=2t=4cm，此时，点P在AB'上距点A4cm处
③B'P2+BC2=AP2，（12-2t）2+48=（2t）2，
∴t=4，
∴AP=2t=8cm，此时，点P在AB'上，距点A8cm处．
即：点p距点A是4cm和8cm处时，以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形．
点评 此题主要考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解（1）的关键是判断出∠DAO=∠BAC，解（3）的关键是关键勾股定理建立方程．
如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AC=DF，AC∥DF． 求证：
如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=8，EB=2，∠CEA=30°，求CD的长．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AG⊥BC于G，BD平分∠ABC，AE⊥BD于H，交BC于E，AG交BD于F，连接EF．求证：
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$．