Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AG⊥BC于G，BD平分∠ABC，AE⊥BD于H，交BC于E，AG交BD于F，连接EF．求证：
（1）AH=EH
（2）EF=AD．

Answer 1

分析 （1）证得△ABH≌△EBH，根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=EF，根据等角的余角相等求出∠ADB=∠AFD，再根据等角对等边可得AF=AD，然后等量代换即可得证．

解答 证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABH=∠EBH，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB=∠BHE，
在△ABH和△EBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠EBH}\\{BH=BH}\\{∠AHB=∠BHE}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△EBH（ASA），
∴AH=EH；
（2）∵BH为AE的垂直平分线，
∴AF=EF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AG⊥BC，AE⊥BD，
∴∠ABD+∠ADB=90°，∠DBC+∠BFG=90°，
∴∠ADB=∠BFG，
∵∠AFD=∠BFG，
∴∠ADB=∠AFD，
∴AF=AD，
又∵AF=EF，
∴AD=EF．

点评 本题考查了角平分线上的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．