Question

17．若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数，且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b），如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2），现已知f（1）=$\sqrt{2}$．给出下列结论：
①f（2）=2．
②若a＞b，则必有f（a）＞f（b）．
③当a＞b时，存在符合条件的a、b，使得2f（a）=f（a-b）+f（a+b）成立．
④当a＞b时，必有f（2a）=f（a-b）•f（a+b）成立．
其中正确的结论是①②④（写出你认为正确的所有结论的序号）．

Answer 1

分析 ①把2根据规定运算写成1+1代入即可得出结论正确；
②由于a＞b，设a=b+n（n为整数）代入规定化简即可得出结论正确；
③根据规定f（a-b）+f（a+b）=0，再判断出f（a）≥$\sqrt{2}$，即可得出结论不正确；
④将f（a-b）•f（a+b）根据规定化简得出右边，即可判断出结论正确．

解答 解：①f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴①正确；
②设a=b+n，n为正整数，
∴f（a）=f（b）+f（n）=f（b）+nf（1）=f（b）+$\sqrt{2}$n＞f（b），
∴②正确；
③∵f（a-b）+f（a+b）=-f（a）•f（b）+f（a）•f（b）=0，
由②知f（a）≥f（1），
∵f（1）=$\sqrt{2}$，
∴f（a）≥$\sqrt{2}$≠0，
∴③不正确；
④∵f（a-b）•f（a+b）=f（a-b+a+b）=f（2a），
∴④正确；
∴正确的有①②④
故答案为①②④．

点评 此题是实数运算，主要考查了学生的理解规定和运用规定的能力，是一道简单的新定义题目．