Question

6．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=135°，AC=2$\sqrt{5}$；
（2）判断：△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．

解答 解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△AHC中，AH=4，CH=2，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为：135，$2\sqrt{5}$；

（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=∠DEF=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，FE=2，DE=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴△ABC∽△DEF．

点评 此题考查的是相似三角形的判定，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．