Question

6．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OB=OD，BF=DE，AE∥CF．
（1）求证：△OAE≌△OCF；
（2）若OA=OD，猜想：四边形ABCD的形状，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由AE∥CF，得到两对内错角相等，再由OB=OD，BF=DE，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
（2）若OA=OD，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OA=OD，得到OB=OC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．

解答 （1）证明：∵AE∥CF，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∵OB=OD，BF=DE，
∴OB-BF=OD-DE，
即OE=OF，
在△OAE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠EAO=∠FCO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCF（AAS）；
（2）若OA=OD，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△OAE≌△OCF，
∴OA=OC，
∵OD=OA，
∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．