Question

5．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠EGC=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径是3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接EO，由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，从而得AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证；
（2）由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG=$\frac{OE}{sin∠EGO}$=5、BG=OG-OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO，根据AF=AB-BF可得答案．

解答 解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，

∴∠EOG=2∠C，
∵∠ABG=2∠C，
∴∠EOG=∠ABG，
∴AB∥EO，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC=6，
在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=$\frac{OE}{OG}$，
∴OG=$\frac{OE}{sin∠EGO}$=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5，
∴BG=OG-OB=2，
在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=$\frac{BF}{BG}$，
∴BF=BGsin∠EGO=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
则AF=AB-BF=6-$\frac{6}{5}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查切线的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握切线的判定与性质及三角函数的定义是解题的关键．