Question

13．如图，点P在线段AB上，PD⊥AB，点C在线段PD上，连结BC，以CB，CD为邻边构造□BCDE，若AD=DE，AP=PC．
（1）求证：△APD≌△CPB；
（2）若PC=3CD，AD=10，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠APD=∠CPB=90°，由平行四边形的性质得到BC=DE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到AP=3CD，PD=4CD，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵PD⊥AB，
∴∠APD=∠CPB=90°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BC=DE，
∵AD=DE，
∴AD=BC，
在Rt△APD与Rt△CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△APD≌Rt△CPB；
（2）解：∵PC=3CD，
∴AP=3CD，PD=4CD，
∵AP²+PD²=AD²，
∴（3CD）²+（4CD）²=10²，
∴CD=2，
∴PD=8．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．