Question

3．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=$\sqrt{6}$，cos∠DCF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）由EF垂直平分线段AC，可得AF=FC，EA=EC，再证明△AOF≌△COE（AAS），推出AF=CE，可得AF=CF=CE=AE，由此即可解决问题；
（2）求出EC的长，根据四边形AECF的面积=EC×AB，计算即可；

解答 （1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠AOF=∠COE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形； 

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=$\sqrt{6}$，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=$\frac{CD}{CF}$，∠DCF=30°，
∴CF=$\frac{CD}{cos30°}$=2$\sqrt{2}$，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2$\sqrt{2}$，
∴四边形AECF的面积为：EC×AB=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用知识解决问题，属于中考常考题型．