Question

14．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连接BC．
（Ⅰ）如图①，若∠P=20°，求∠BCO的度数；
（Ⅱ）如图②，过A作弦AD⊥OP于E，连接DC，若OE=$\frac{1}{2}$CD，求∠P的度数．

Answer 1

分析 （1）由PA是⊙O的切线，推出OA⊥AP，推出∠AOC=90°-20°=70°，由∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=35°，OB=OC，即可推出∠B=∠OCB=35°；
（2）如图2中，连接BD、OD．只要证明$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，即可推出∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，由PA是⊙O的切线，推出∠PAO=90°，推出∠P=30°；

解答 解：（1）如图1中，

∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，∵∠P=20°，
∴∠AOC=90°-20°=70°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=35°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=35°，
∴∠BCO=35°．

（2）如图2中，连接BD、OD．

∵AD⊥OP于E，
∴AE=ED，$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∵AE=ED，OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$DB，
∵OE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=DB，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=30°．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．