Question

如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=3，D在BC边上移动，连接AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC相交于点E、F，联结DE、DF，
（1）设BD=x，试用x的代数式表示△BDE和△CDF的周长；
（2）在点D的移动过程中，△BDE的周长能否有可能等于△CDF周长的两倍？如果能，指出点D在BC上的什么位置；如果不能，简单说明理由．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE与DE的关系，AF与DF的关系，根据等量代换，可得AB、BE、ED的关系，FD、FC、AC的关系，可得答案；
（2）根据周长的关系，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得x的值，根据x的值与BC的关系，可得答案．

解答：解：（1）∵AD的垂直平分线，分别与边AB、AC相交于点E、F．
∴AE=ED，
∴△BDE的周长=x+4，
∵AD的垂直平分线，分别与边AB、AC相交于点E、F，
∴AF=DF
∵DC=3-x，
∴△CDF的周长=4+（3-x）=-x+7；

（2）不能，理由
若x+4=2（7-x），
解得x=

10

3

当x=

10

3

时，△BDE的周长等于△CDF的周长的2倍
但是

10

3

≈3.33
∵BC=3
∴D不在BC上．

点评：本题考查了线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即AE=ED，AF=DF是解题关键．