Question

如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．

解答：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△BAC和△EDF中

AB=ED ∠A=∠D AC=FD

，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴

BC

AC

=

BC

CG

，
即

6

10

=

CG

6

，
∴CG=3.6，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=7.2，
∴AF=AC-FC=10-7.2=2.8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．