Question

16．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，2），B（3，0）．若反比例函数y=-$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，设直线EF的解析式为y=k₂x+b．
（1）求反比例函数与直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性质确定C点坐标（3，2），再确定A点坐标为（$\frac{3}{2}$，1），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k₁=3，即反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$；然后利用反比例函数解析式确定F点的坐标为（3，$\frac{1}{2}$），E点坐标为（$\frac{3}{4}$，2），再利用待定系数法求直线EF的解析式；
（2）利用△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF进行计算；
（3）观察函数图象得到当$\frac{3}{4}$＜x＜3时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k₂x+b＞$\frac{{k}_{1}}{x}$．

解答 解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，2），B（3，0），
∴C点坐标为（3，2），
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为（$\frac{3}{2}$，1），
∴k₁=$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{2}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{2x}$；
把x=3代入y=$\frac{3}{2x}$，得y=$\frac{1}{2}$，则F点的坐标为（3，$\frac{1}{2}$）；
把y=2代入y=$\frac{3}{2x}$得x=$\frac{3}{4}$，则E点坐标为（$\frac{3}{4}$，2），
把F（3，$\frac{1}{2}$）、E（$\frac{3}{4}$，2）代入y=k₂x+b得$\left\{\begin{array}{l}{3{k}_{2}+b=\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{4}{k}_{2}+b=2}\end{array}\right.$，解得--$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF
=2×3-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{4}$）×（2-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{45}{16}$；

（3）由图象得：不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＞0的解集为$\frac{3}{4}$＜x＜3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式．