Question

6．如图，已知⊙P与x轴交于A和B（9，0）两点，与y轴的正半轴相切与点C（0，3），作⊙P的直径BD，过点D作直线DE⊥BD，交x轴于E点，若点P在双曲线y=$\frac{15}{x}$上，则直线DE的解析式为y=$\frac{12}{7}$x+$\frac{30}{7}$．

Answer 1

分析 连接PC．AD，过P作PE⊥AB于E，根据已知条件得到OB=9，OC=3，根据切线的性质得到PC⊥y轴，推出四边形OEPC是矩形，得到PE=OC=3，求得P（5，3），得到PC=5，BD=10，根据三角形的中位线的性质得到D（1，6），根据相似三角形的性质得到E（-$\frac{7}{2}$，0），设直线DE的解析式为y=kx+b，代入数据即可得到结论．

解答 解：连接PC．AD，过P作PE⊥AB于E，
∵C（0，3），B（9，0），
∴OB=9，OC=3，
∵⊙P与y轴的正半轴相切与点C，
∴PC⊥y轴，
∴四边形OEPC是矩形，
∴PE=OC=3，
把y=3代入y=$\frac{15}{x}$得，x=5，
∴P（5，3），
∴PC=5，BD=10，
∵BD是⊙P的直径，
∴AD⊥x轴，
∴PE∥AD，
∵P是BD的中点，
∴AD=6，
∴AB=8，
∴OA=1，
∴D（1，6），
∵DE⊥BD，
∴∠EDA+∠BDA=∠AED+∠EDA=90°，
∴∠AED=∠ADB，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$，
∴E（-$\frac{7}{2}$，0），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{7}{2}k+b}\\{6=k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{14}{3}$．
故答案为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点的问题，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．