(1)如图1.线段AB的长为4.请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．(2)如图2.在四边形ABCD中.AD=CD.∠ABC=120°.∠ADC=60°.AB=4.BC=2.请你求出四边形ABCD的面积．问题解决:(3)小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板.这种材料板的形状如图3所示.并且满足在四边形ABCD中.AD=CD.∠ABC=75°.∠ADC=60� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，请你求出四边形ABCD的面积．
问题解决：
（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，DB=4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．

分析（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径画⊙O，再由底边AB一定时，高最大时，直角三角形ABC的面积最大，确定点C的位置；
（2）作辅助线，将四边形ABCD分成等边三角形和钝角三角形，利用面积和求四边形ABCD的面积即可；
（3）根据旋转的性质作辅助线，构建等边△BHD，利用求△ABH面积的最大值，来确定四边形ABCD面积的最小值，△ABH面积的最大值利用（1）的结论，作辅助圆可得出，从而得出结论．

解答解：（1）如图1，

画法：以AB为直径画圆O，当点C位于半圆的中点时，直角△ABC的面积最大；

（2）如图2，连接AC，过C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
在Rt△BCH中，∵BC=2，∠CBH=180°-120°=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，HC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AH=AB+BH=4+1=5，
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=5²+（$\sqrt{3}$）²=28，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴S_△ADC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×28=7$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S△_ACD=2$\sqrt{3}$+7$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；

（3）能，
如图3，连接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
将△BDC绕点D顺时针旋转60°得△HDA，连接BH，
则BD=DH=4，∠HDB=60°，
∴△HDB是等边三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD
=S_△BDH-S_△ABH，
∵BD=4，是定值，
∴S_△BDH是定值，
∴当△ABH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-75°-60°=225°，
∴∠BAH=360°-∠BAD-∠HAD=360°-225°=135°，
∵BH=BD=4，
∴点A在定圆⊙O（△ABH的外接圆）上运动，当O、A、D共线时，△ABH的面积最大，此时，OD⊥BH，
设OA交BH于K，则HK=KB=2，
∵AH=AB，
∴∠AHB=∠ABH=22.5°，
在HK上取一点F，使FH=AF，则△AKF是等腰直角三角形，
设AK=FK=x，则AF=FH=$\sqrt{2}$x，
∴2=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴△ABH面积的最大值=$\frac{1}{2}$×4×$（2\sqrt{2}-2）$=4$\sqrt{2}$-4，
∴四边形ABCD的面积的最小值=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-（4$\sqrt{2}$-4）=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+4．