Question

14．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB⊥BC，点E，F在边AB上，且∠AED=45°，∠BFC=60°，AE=2，EF=2-$\sqrt{3}$，FC=2$\sqrt{3}$．
（1）BC=3．
（2）求点D到BC的距离．
（3）求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥BC，FC=2$\sqrt{3}$°，∠BFC=60°，直接利用三角函数的知识求解即可求得答案；
（2）首先过点D作DG⊥BC于点G，由AD∥BC，AB⊥BC，可得DG=AB，继而求得答案；
（3）首先可得四边形ABGD是平行四边形，即可求得CG的长，然后由勾股定理求得答案．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵FC=2$\sqrt{3}$，∠BFC=60°，
∴BC=FC•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3；
故答案为：3；

（2）过点D作DG⊥BC于点G，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴DG=AB，DA⊥AB，
∵FC=2$\sqrt{3}$，∠BFC=60°，
∴BF=FC•cos60°=$\sqrt{3}$，
∴DC=AB=AE+EF+BF=2+2-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=4；

（3）∵DA⊥AB，∠AED=45°，
∴AD=AE=2，
∵DG⊥BC，AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴BG=AD=2，
∴CG=BC-BG=3-2=1，
∴在Rt△DCG中，CD=$\sqrt{D{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意证得四边形ABGD是平行四边形是解此题的关键．