Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，矩形DEFC的顶点D、E、F都在△ABC的边上．
（1）设DE=x，则AD=$\frac{4}{3}$x（用含x的代数式表示）；
（2）求矩形DEFC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，由此即可解决问题．
（2）构建关于x二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

解答
解：（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴∠ADE=∠EDC=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CB}$，
∴$\frac{AD}{4}$=$\frac{x}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$x．
故答案为$\frac{4}{3}$x．

（2）设四边形DEFC的面积为y，
y=DE•DC=x（4-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+4x=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+3，
∵0≤x≤3，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，y有最大值，最大值为3．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、二次函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．