Question

2．如图，已知线段AB=8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD∥AB交⊙A于点D（点D在点C右侧），连结BC、AD．
（1）若CD=6，求四边形ABCD的面积；
（2）设CD=x，BC=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，再利用勾股定理计算出AH=4，然后根据梯形的面积公式求解；
（2）作CP⊥AB于P，如图1，根据垂径定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$x，易得AP=CH=$\frac{1}{2}$x，则BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，在Rt△PAC中利用勾股定理得到CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，在Rt△BPC中根据勾股定理得到y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，然后利用算术平方根定义即可得到y与x的关系．

解答 解：过点A作AH⊥CD于H，如图，则CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
在Rt△AHD中，∵AD=5，DH=3，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（CD+AB）•AH=$\frac{1}{2}$×（6+8）×4=28；

（2）作点C作CP⊥AB于P，如图，
∵AH⊥CD，CD=x，
∴CH=DH=$\frac{1}{2}$x，
∴AP=CH=$\frac{1}{2}$x，
∴BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，
在Rt△PAC中，∵AC²=AP²+CP²，
∴CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，
在Rt△BPC中，∵BC²=BP²+CP²，
∴y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，
∴y=$\sqrt{89-8x}$（0＜x＜10）；

点评 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理和圆周角定理，关键是根据题意作出辅助线，运用勾股定理进行几何计算．