Question

如图，某地有一座圆弧形的拱桥，圆弧所在圆的圆心为O，半径为OC，桥下水面宽AB为7.2m，拱顶C高出2.4m（CD=2.4m），现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船DFNM要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理的应用,勾股定理

专题：

分析：连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即HD长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OHN中勾股定理求出HN的长，从而求得MN的长

解答：解：如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴BD=

1

2

AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，
解得r=3.9．
∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面2m，
∴CH=2.4-2=0.4m，
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5m，
在Rt△OEN中，HN²=ON²-OH²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=

2.96

（m）．
∴MN=2HN=2×

2.96

≈3.44m＞3m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．

点评：考查了垂径定理的应用，解决此类桥拱问题，通常是利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度．要注意本题是通过求距离水面2米高处即HD长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．