Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与P点相同，经过3s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与P点不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以（2）中的速度从C点出发，P点以原来的速度从B点同时出发，都沿△ABC三边逆时针运动，求经过多长时间，P点与Q点第一次在△ABC的什么位置上相遇？

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）根据题意BP=3，CQ=3，求出BD=CP=5，再由∠B=∠C，即可证明△BPD≌△CQP；
（2）分类讨论：①当BP=CP时，②当BP=CQ时，分别求出t的值即可得出结果；
（3）两点相遇时，路程差为10+10，即可求出时间t的值．

解答：解：（1）经过3秒后，△BPD≌△CQP；此时BP=3，CQ=3，
∵D是AB的中点，AB=AC=10，BC=8，
∴BD=5，CP=8-3=5，∠B=∠C，
∴BP=CQ，BD=CP，
在△BPD和△CQP中，

BP=CQ   ∠B=∠C   BD=CP

 
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵∠B=∠C，
∴PD与PQ是对应边，
若△BPD≌△CQP，设点Q的速度为xcm/s，时间为t秒；
分两种情况：①当BP=CP时，CQ=BD=5，
∵BC=8，
∴BP=4，t=4，
∴x=5÷4=

5

4

；
②当BP=CQ时，xt=t，x=1，不合题意；
综上所述：Q的运动速度为

5

4

cm/s时，△BPD≌△CQP；
（3）设经过t秒时，两点第一次相遇；根据题意得：

5

4

t-t=10+10，
解得：t=80，
∵80÷（10+10+8）=3…16，
即经过100秒，P点与Q点第一次在AB边上距离B点4cm处相遇．

点评：本题考查了全等三角形的判定方法；特别是利用分类讨论的方法讨论三角形全等的情况，培养学生综合解题的能力．