Question

如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．
①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S_△APQ+S_△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题,探究型

分析：（1）求证相似，证两对角相等即可，由平行线的性质容易得出角相等．
（2）①当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长，AP长已知，故t易知．
②因为S_△APQ+S_△DCQ=y，故求S_△APQ和S_△DCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取．考虑两高在同一直线上，且相加恰为10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y=

5t2+2000

20+t

，注意要考虑t的取值．讨论何时y最小，y=

5t2+2000

20+t

不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，观察题目问法“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，＜1＞并不是我们常规的在确定时间最小，＜2＞时间为整数秒．故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，
∴△APQ∽△CDQ．

（2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，
∵∠ADQ+∠QDC=90°，
∴∠DCA=∠ADP，
∵∠ADC=∠DAP=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴

AD

PA

=

DC

AD

，
∴

10

PA

=

20

10

，
解得 PA=5，
∴t=5．
②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10-h）．
∵△APQ∽△CDQ，
∴

h

10-h

=

AP

DC

=

t

20

，
解得 h=

10t

20+t

，
∴10-h=

200

20+t

，
∴S_△APQ=

1

2

•AP•h=

5t2

20+t

，
S_△DCQ=

1

2

•DC•(10-h)=

2000

20+t

，
∴y=S_△APQ+S_△DCQ=

5t2

20+t

+

2000

20+t

=

5t2+2000

20+t

（0≤t≤20）．
探究：
t=0，y=100；
t=1，y≈95.48；
t=2，y≈91.82；
t=3，y≈88.91；
t=4，y≈86.67；
t=5，y=85；
t=6，y≈83.85；
t=7，y≈83.15；
t=8，y≈82.86；
t=9，y≈82.93；
t=10，y≈83.33；
t=11，y≈84.03；
t=12，y=85；
t=13，y≈86.21；
t=14，y≈87.65；
t=15，y≈89.29；
t=16，y≈91.11；
t=17，y≈93.11；
t=18，y≈95.26；
t=19，y≈97.56；
t=20，y=100；
观察数据知：
当0≤t≤8时，y随t的增大而减小；
当9≤t≤20时，y随t的增大而增大；
故y在第8秒到第9秒之间取得最小值．

点评：本题主要考查了三角形相似及相似图形性质等问题，（2）②是一道非常新颖的考点，它考察了考生对函数本身的理解，作为未知函数类型如何探索其变化趋势是非常需要学生能力的．总体来说，本题是一道非常好、非常新的题目．