题目内容
如图，抛物线y=-x2-2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2
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考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．
（2）设M点横坐标为m，则PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周长d=-2m2-8m+2，将-2m2-8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
（3）设F（n，-n2-2n+3），根据已知若FG=2
DQ，即可求得．
（2）设M点横坐标为m，则PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周长d=-2m2-8m+2，将-2m2-8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
（3）设F（n，-n2-2n+3），根据已知若FG=2
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解答：解：（1）由抛物线y=-x2-2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则0=-x2-2x+3，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=-x2-2x+3可知，对称轴为x=-1，
设M点的横坐标为m，则PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）×2=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，
∴当m=-2时矩形的周长最大．
∵A（-3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=-2时，则E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=
•AM•EM=
．
（3）∵M点的横坐标为-2，抛物线的对称轴为x=-1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x2-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4）
∴DQ=DC=
，
∵FG=2
DQ，
∴FG=4，
设F（n，-n2-2n+3），
则G（n，n+3），
∵点G在点F的上方，
∴（n+3）-（-n2-2n+3）=4，
解得：n=-4或n=1．
∴F（-4，-5）或（1，0）．
令y=0，则0=-x2-2x+3，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=-x2-2x+3可知，对称轴为x=-1，
设M点的横坐标为m，则PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）×2=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，
∴当m=-2时矩形的周长最大．
∵A（-3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=-2时，则E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=
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（3）∵M点的横坐标为-2，抛物线的对称轴为x=-1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x2-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4）
∴DQ=DC=
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∵FG=2
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∴FG=4，
设F（n，-n2-2n+3），
则G（n，n+3），
∵点G在点F的上方，
∴（n+3）-（-n2-2n+3）=4，
解得：n=-4或n=1．
∴F（-4，-5）或（1，0）．
点评：本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．
练习册系列答案
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