Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，P是边AD上的一个动点，将△ABP沿着BP折叠，得到△′ABP．若射线BA′恰好经过边CD的中点E，则四边形DPA′E的面积为$\frac{70}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD=BC=12，CD=AB=10，∠A=∠D=∠C=90°，由勾股定理求出BE，由折叠的性质得出∠BAP′=∠A=90°，BA′=BA=10，PA′=PA，得出∠PA′E=90°，A′E=13-10=3，连接PE，设PA′=PA=x，则PD=12-x，由勾股定理得出方程，解方程求出PA′，得出PD，即可求出四边形DPA′E的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，CD=AB=10，∠A=∠D=∠C=90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=5，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
由折叠的性质得：∠BAP′=∠A=90°，BA′=BA=10，PA′=PA，
∴∠PA′E=90°，A′E=13-10=3，
连接PE，如图所示：
设PA′=PA=x，则PD=12-x，
由勾股定理得：PE²=PA′²+A′E²=PD²+DE²，
即x²+3²=（12-x）²+5²，
解得：x=$\frac{20}{3}$，
∴PA′=$\frac{20}{3}$，PD=12-$\frac{20}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴四边形DPA′E的面积=$\frac{1}{2}×3×\frac{20}{3}$+$\frac{1}{2}$×5×$\frac{16}{3}$=$\frac{70}{3}$；
故答案为：$\frac{70}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和折叠的性质，由勾股定理求出PA′、PD是解决问题的关键．