Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CB=4，点D是CB的中点，点E，F分别在AB，AC上，则△DEF的周长的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作D关于AC的对称点G，作D关于AB的对称点H，连接GH交AC于FAB于E，则GH=△DEF的周长的最小值，由点D是CB的中点，得到BD=CD=2，根据已知条件得到DH=2DQ=4，∠HDB=60°，过H作HP⊥BC于P，解直角三角形得到PD=$\frac{1}{2}$DH=1，PH=$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：作D关于AC的对称点G，作D关于AB的对称点H，连接GH交AC于FAB于E，
则GH=△DEF的周长的最小值，
∵点D是CB的中点，
∴BD=CD=2，
∵∠B=30°，
∴DH=2DQ=4，∠HDB=60°
过H作HP⊥BC于P，
∴PD=$\frac{1}{2}$DH=1，PH=$\sqrt{3}$，
∵DG=2CD=4，
∴PG=5，
∴HG=$\sqrt{P{H}^{2}+P{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴△DEF的周长的最小值是2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是最短线路问题及直角三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．