Question

1．如图，已知点A（$\frac{1}{2}$，y₁），B（2，y₂）分别为反比例函数y=$\frac{1}{x}$，y=$\frac{-1}{x}$图象上的点，动点P在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，P的坐标是（$\frac{5}{2}$，0）．

Answer 1

分析 先求出A、B两点的坐标，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P呢点P即为所求点．

解答 解：∵点A（$\frac{1}{2}$，y₁），B（2，y₂）分别为反比例函数y=$\frac{1}{x}$，y=$\frac{-1}{x}$图象上，
∴A（$\frac{1}{2}$，2），B（2，-$\frac{1}{2}$）．
作点A关于x轴的对称点A′，则A′（$\frac{1}{2}$，-2），
∵|PA-PB|≤A′B，
∴直线AB与x轴的交点即为点P．
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A′（$\frac{1}{2}$，-2），B（2，-$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}-2=\frac{1}{2}k+b\\-\frac{1}{2}=2k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=x-$\frac{5}{2}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，0）．
故答案为：（$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出A、B两点的坐标是解答此题的关键．