Question

在平面直角坐标系中，有点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限，且△AOB≌△OCD．
（1）请在图中画出△OCD，并直接写出点D的坐标：D

 

；
（2）点P在直线AC上，且△PCD是等腰直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据△AOB≌△OCD可得DC=BO，再根据B（0，3），C（0，2）可得D点坐标；
（2）①当CD为直角边时过点D作P₁D⊥CD，交AC于P₁，DC∥OA可得△P₁DC为等腰直角三角形，进而得到CD=DP₁=3，可得P₁点坐标；
②当CD为斜边时，过点D作DP₂⊥AC于P₂，易得△CP₂D为等腰直角三角形，作P₂E⊥CD于E，再根据等腰三角形的性质可得CD=DP₁=3，进而得到P₂点坐标．

解答：解：（1）正确画出△COD，
∵△AOB≌△OCD，
∴DC=BO，
∵B（0，3），C（0，2），
∴D（-3，2）；

（2）由OC=OA=2，∠AOC=90°，
∴∠OAC=45°．
①当CD为直角边时，
如图，过点D作P₁D⊥CD，交AC于P₁，
∵DC∥OA，
∴∠P₂CD=∠CAO，
∴△P₁DC为等腰直角三角形，
∵CD=DP₁=3，
∴P₁（-3，5）．         
②当CD为斜边时，
如图，过点D作DP₂⊥AC于P₂，易得△CP₂D为等腰直角三角形，作P₂E⊥CD于E，易得
CE=P₂E=

1

2

CD=1.5，
∴P₂（-1.5，3）．     
综上，在直线AC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P坐标为：P₁（-3，5），P₂（-1.5，3.5）．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．