Question

2．△ABC中，AB＞AC，G为BC的中点，P、A在直线BC的同侧，PG⊥BC，直线BP与直线AC相交于点D，直线CP与直线AB相交于点E，且∠BAC=2∠PBC．
（1）当点P在AB边上时（如图1），E与P重合，D与A重合．则线段BE与线段CD之间的数量关系是BE=CD；
（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段BE与线段CD有何数量关系？证明你的结论；
（3）当∠BAC＞120°（如图3）时，请画出图形，并判断线段BE与线段CD之间的数量关系（直接写出结论，不证明）．

Answer 1

分析 （1）由PG是BC的垂直平分线可得出“PB=PC，∠PBC=∠PCB”，通过角的计算可以得出∠APC=∠PAC，结合等腰三角形的性质即可得出CP=CA，通过等量变换即可得出结论；
（2）过点B作BF⊥CE于点F，过点C作CM⊥BD于点M，结合全等三角形的判定定理得出△PBF≌△PCM，从而得出BF=CM；再通过边角关系找出∠BEF=∠CDM，即在△BEF和△CMD中满足全等三角形的判定定理（AAS）证出△BEF≌△CMD，结合全等三角形的性质即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥PC于点F，过点C作CM⊥PB于点M，证明方法等同于（2）．

解答 （1）BE=CD．
证明：∵PG⊥BC，G为BC的中点，
∴PB=PC，∠PBC=∠PCB．
∵∠APC=∠PBC+∠PCB=2∠PBC，∠BAC=2∠PBC，
∴∠APC=∠PAC，
∴CP=CA，
∴BP=CA．
∵E与P重合，D与A重合，
∴BE=CD．
故答案为：BE=CD．
（2）BE=CD．
证明：过点B作BF⊥CE于点F，过点C作CM⊥BD于点M，如图（一）所示．

∵BF⊥CE，CM⊥BD，
∴∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFB=∠PMC}\\{∠BPF=∠CPM}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM．
∵PB=PC，
∴∠BPE=∠PBC+∠PCB=2∠PBC．
∵∠A=2∠PBC，
∴∠A=∠BPE．
∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠CDM}\\{∠BFE=CMD=90°}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CMD（AAS），
∴BE=CD．
（3）BE=CD．
证明：过点B作BF⊥PC于点F，过点C作CM⊥PB于点M，如图（二）所示．

∵BF⊥PC，CM⊥PB，
∴∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFB=∠PMC}\\{∠BPF=∠CPM}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠DAE=∠BAC=2∠PBC，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠DAE+∠P=180°，
∴∠AEP+∠PDA=180°．
又∵∠PDA+∠MDC=180°，
∴∠AEP=∠MDC，即∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠CDM}\\{∠BFE=CMD=90°}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CMD（AAS），
∴BE=CD．

点评 本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质以及角的计算，解题的关键：（1）利用等腰三角形的性质找出BP=CA；（2）证出△BEF≌△CMD；（3）证出△BEF≌△CMD．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出相等的角，再根据全等三角形的判定定理证明三角形全等是关键．