题目内容

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，sinB=$\frac{3}{5}$．点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点P运动到点F时，MQ=$\frac{9}{4}$cm；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）是否存在某一时间t，使平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为$\frac{15}{2}$？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

分析 （1）当点P运动到点F时，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出答案；
（2）根据在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上得出方程t+t-3=8，求出即可；
（3）求出DE=$\frac{1}{2}$AC=3，DF=$\frac{1}{2}$BC=4，证△MBQ∽△ABC，求出MQ=$\frac{3}{4}$t，分为三种情况：①当3≤t＜4时，重叠部分图形为平行四边形，根据y=PN•PD代入求出即可；②当4≤t＜$\frac{11}{2}$时，重叠部分为矩形，根据图形得出y=3[（8-t）-（t-3）]；③当$\frac{11}{2}$≤t≤7时，重叠部分图形为矩形，根据图形得出y=3[（t-3）-（8-t）]，求出即可．

解答 解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{6}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=10cm，
由勾股定理求得BC=8cm．
当点P运动到点F时，
∵F为AC的中点，AC=6cm，
∴AF=FC=3cm，
∵P和Q的运动速度都是1cm/s，
∴BQ=AF=3cm，
∵MQ∥AC，
∴$\frac{MQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{MQ}{6}$=$\frac{3}{8}$，
解得MQ=$\frac{9}{4}$（cm），
故答案为：$\frac{9}{4}$．

（2）设在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上，如图1，
则t+t-3=8，
t=$\frac{11}{2}$，
BQ的长度为$\frac{11}{2}$×1=$\frac{11}{2}$（cm）；

（3）∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵MQ⊥BC，
∴∠BQM=∠C=90°，
∵∠QBM=∠CBA，
∴△MBQ∽△ABC，
∴$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{MQ}{AC}$，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{MQ}{6}$，
MQ=$\frac{3}{4}$t，
分为三种情况：①当3≤t＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，
y=PN•PD
=$\frac{3}{4}$x（7-t）
即y=-$\frac{3}{4}$t2+$\frac{21}{4}$t，
则-$\frac{3}{4}$t2+$\frac{21}{4}$t=$\frac{15}{2}$，
整理得：（t-2）（t-5）=0，
解得t1=2（舍去），t2=5，
即当t=5时，平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为$\frac{15}{2}$；
②当4≤t＜$\frac{11}{2}$时，重叠部分为矩形，如图3，
y=3[（8-t）-（t-3）]
即y=-6t+33，
所以-6t+33=$\frac{15}{2}$，
解得t=$\frac{17}{4}$．
当t=$\frac{17}{4}$时，平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为$\frac{15}{2}$；

③当$\frac{11}{2}$≤t≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，
y=3[（t-3）-（8-t）]
即y=6t-33．
则6t-33=$\frac{15}{2}$，
解得t=$\frac{27}{4}$，
即当t=$\frac{27}{4}$时，平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为$\frac{15}{2}$；
综上所述，当t的值为5或$\frac{17}{4}$或$\frac{27}{4}$时，平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分是平行四边形且面积为$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了函数的应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，用了分类讨论思想．

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