Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4）B（m，n）（m＞2），D（1，q）（q＜n），点B、D在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E．且AB∥CD，点C在x轴上，BE=DE．求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 先由△ABE≌△CDE证明四边形ABCD是平行四边形，再求出点B、点C坐标，求出CD、AD的长度即可解决问题．

解答 解：∵点D（1，q）在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴q=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
∴点D坐标（1，$\frac{3}{2}$），
∴AD=$\frac{5}{2}$，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE，
在△ABE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCE}\\{∠AEB=∠DEC}\\{EB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDE，
∴AE=EC，AD=BC=$\frac{5}{2}$，
∵DE=BE，AE=EC，
∴四边形ADCB是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴点B坐标（3，$\frac{5}{2}$），点C坐标（3，0），
∴CD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，求出点B、点C的坐标，属于中考常考题型．