Question

20．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EC=BC，过点E作FE⊥BE，交CD于点F
（Ⅰ）∠BEC的度数等于67.5°．
（Ⅱ）若正方形的边长为a，则CF的长等于（$\sqrt{2}$-1）a．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质，得出ACB=45°，再利用等腰三角形的性质求出∠BEC；
（2）先判断出△ABE≌△CEF，得出CF=AE，然后用正方形的性质求出AB进而求出AE即可．

解答 解：（1）点E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠ACB=45°，
∵EC=BC，
∴∠BEC=∠EBC=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=67.5°
故答案为67.5°；
由（1）知，∠CBE=∠BEC=67.5°，
∴∠ABE=22.5°，
∵FE⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠CEF=22.5°，
∴∠ABE=∠CEF，
∵∠BAE=∠ECF，
∴△ABE和△CEF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠ECF}\\{AB=CE}\\{∠ABE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CEF，
∴CF=AE，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=$\sqrt{2}$a，
∵CE=AB=a，
∴CF=AE=AC-CE=$\sqrt{2}a-a$=（$\sqrt{2}$-1）a，
故答案为（$\sqrt{2}$-1）a．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ABE≌△CEF．