Question

9．已知O是等边△ABC的外心，且OA=2，则△ABC的边长是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于点D，由垂径定理可知AD=BD，因为等边△ABC的外心与其中心重合，所以AO平分∠BAC，故利用特殊直角三角形可求出AD

解答 解：如下图所示：作OD⊥AB于点D，
由垂径定理得：AD=BD．
∵由圆与等边三角形的对称性可知：∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
即：△ABC的边长是2$\sqrt{3}$

点评 本题考查了等边三角形的性质、垂径定理等知识点，解题的关键是作辅助线将已知条件与等边三角形、圆联系建立直角三角形