题目内容
7．如图，长方形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC，点M是边BC上的一点且BM=3，点P是边AD或DC上一点．（1）如图1如果△ABM的周长：四边形AMCD的周长=1：2，求边AD的长；
（2）如图2，当点P与点D重合且∠AMP=90°，求AP的长；
（3）①如图3，如果AD=4，△AMP为等腰三角形，求△AMP的面积；
②直接写出使△AMP为等腰三角形时点P最多有几个？
分析 （1）设CM=x，用x分别表示出△ABM的周长和四边形AMCD的周长，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程求出AP；
（3）①分AM=AP、PA=PM两种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理解答；
②结合图形、根据等腰三角形的性质解答．
解答 解：（1）设CM=x，
∵∠B=90°，AB=4，BM=3，
由勾股定理得AM=5，
∴△ABM的周长=AB+BM+AM=12，四边形AMCD的周长=x+3+4+5+x=2x+12，
由题意得，12：（2x+12）=1：2，
解得，x=6，即CM=6，
∴AD=9；
（2）设CM=x，
在Rt△CMP中，DM2=CM2+CD2=x2+42
在RT△AMP中，DM2=AD2-AM2=（x+3）2-52
∴x2+42=（x+3）2-52
解得，x=$\frac{16}{3}$，
∴AP=$3+\frac{16}{3}=\frac{25}{3}$；
（3）①如图3，当AM=AP时，
AP=5，AD=4，
由勾股定理得，DP=3，
则MC=PC=1，
△AMP的面积=4×4-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×1=3.5；
当PA=PM时，
设DP=y，则CP=4-y，
则42+y2=12+（4-y）2，
解得，y=$\frac{1}{8}$，即DP=$\frac{1}{8}$，
△AMP的面积=4×4-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$×4-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{31}{8}$=$\frac{125}{16}$；
综上所述：△AMP 的面积为3.5或$\frac{125}{16}$；
②当点P在线段AD上时，AM=AP或MA=MP，
当点P在线段CD上时，AM=AP或PA=MP，
故P点最多4个．
点评 本题考查的是矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的性质、三角形的面积公式、灵活运用勾股定理是解题的关键．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC且tanA=$\frac{4}{3}$，P为BC上一点，且BP：PC=3：5，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EPF=2∠B，若△EPF的面积为6，则EF=2$\sqrt{13}$．| A． | 1 | B． | -1 | C． | -7 | D． | 7 |
如图，是按规律摆放在墙角的一些小正方体，从上往下分别记为第一层，第二层，第三层…第n层…
如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF．
平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为（ ）
如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
已知：如图，△ABC中，DE∥BC．