Question

17．已知：如图，在△ABC中，AB=AC且tanA=$\frac{4}{3}$，P为BC上一点，且BP：PC=3：5，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EPF=2∠B，若△EPF的面积为6，则EF=2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由∠B=∠C、∠A+∠B+∠C=180°知∠A+2∠B=180°，由∠β=2∠B得∠A+∠β=180°，根据四边形内角和得∠3+∠4=180°，继而由∠4+∠1=180°知∠3=∠1，再分两种可能：①∠3=∠4=90°，结合∠B=∠C可得△PBE∽△PFC，从而得知$\frac{PB}{PC}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{3}{5}$；②∠3≠∠4，以P为圆心，PF为半径画弧交CF于点G，证△PBE∽△PCG得$\frac{PB}{PC}$=$\frac{PE}{PG}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{3}{5}$；作FD⊥EP，由∠β+∠A=∠β+∠α=180°知∠A=∠α，从而得tanA=tanα=$\frac{FD}{PD}$=$\frac{4}{3}$，故可设FD=4x，则PD=3x，求出PF=PG=5x，PE=3x，根据S_△PEF=$\frac{1}{2}$PE•DF=6可得x的值，从而得出DE、DF的长，即可得答案．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠B=180°，
如图所示，

∵∠β=∠EPF=2∠B，
∴∠A+∠β=180°，
∵∠A+∠3+∠β+∠4=360°，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠4+∠1=180°，
∴∠3=∠1，
若∠3=∠4=90°，
∵∠B=∠C，
∴△PBE∽△PFC，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{3}{5}$，
若∠3≠∠4，不放设∠4＞∠3，则可以P为圆心，PF为半径画弧交CF于点G，
∴PF=PG，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∴∠5=∠6，
∴△PBE∽△PCG，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{PE}{PG}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{3}{5}$，
作FD⊥EP于点D，
∵∠β+∠A=∠β+∠α=180°，
∴∠A=∠α，
∵tanA=tanα=$\frac{FD}{PD}$=$\frac{4}{3}$，
设FD=4x，则PD=3x，（x＞0），
由勾股定理得PF=5x，即PG=5x，
∵$\frac{PE}{PG}$=$\frac{3}{5}$，
∴PE=3x，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$PE•DF=$\frac{1}{2}$×3x×4x=6x²，
∵S_△PEF=6，
∴6x²=6，
解得：x=1或x=-1（舍），
∴DE=6x=6，DF=4x=4，
由勾股定理可得EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{36+16}$=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，
故答案为：2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证△PBE∽△PFC或△PBE∽△PCG得出PE：PF的值是解题的关键．