Question

16．已知：如图，△ABC中，DE∥BC．
（1）若$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，
①求$\frac{AE}{AC}$的值；
②求$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$的值；
③若S_△ABC=5，求四边形BCED的面积；
④S_△ABC=5，S_{四边形BCED}=15，求$\frac{DE}{BC}$的值
（2）过点E作EF∥AB交BC于F，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，
①若S_△ABC=5，求四边形BFED的面积；
②若S_{四边形BFED}=13，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）①由比例的性质容易得出结果；
②与平行线证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可得出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{4}{25}$；
③由相似三角形的性质求出S_△ADE=$\frac{4}{5}$，即可得出四边形BCED的面积；
④由平行线证出△ADE∽△ABC，得出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$，即可求出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）①由平行线证出△EFC∽△ABC，由相似三角形的性质得出=$\frac{9}{25}$，求出S_△EFC=$\frac{9}{5}$，即可得出四边形BFED的面积；
②设S_△ABC=25k，则S_△ADE=4k，S_△EFC=9k，则S_{四边形BFED}=12k=13，解得k=$\frac{13}{12}$，即可得出结果．

解答 解：（1）①∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$；
②∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{4}{25}$；
③∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{4}{25}$，S_△ABC=5，
∴S_△ADE=$\frac{4}{25}$×5=$\frac{4}{5}$，
∴四边形BCED的面积=5-$\frac{4}{5}$=$\frac{21}{5}$；
④∵S_△ADE=5，S_{四边形BCED}=15，
∴S_△ABC=5+15=20，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）①∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EC}{AC}$）²=$\frac{9}{25}$，
∴S_△EFC=$\frac{9}{25}$×5=$\frac{9}{5}$，
由（1）③得：S_△ADE=$\frac{4}{25}$×5=$\frac{4}{5}$，
∴四边形BFED的面积=5-$\frac{4}{5}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{12}{5}$；
②设S_△ABC=25k，则S_△ADE=4k，S_△EFC=9k，
则S_{四边形BFED}═25k-4k-9k=12k=13，
解得：k=$\frac{13}{12}$，
∴S_△ABC=25×$\frac{13}{12}$=$\frac{325}{12}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，证明三角形相似是解决问题的关键．