Question

11．如图，一抛物线经过点A（-2，0），B（6，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点，过OD的中点E，作EF⊥x轴于点F，G为x轴上一动点，M为抛物线上一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，点G的坐标为（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．

Answer 1

分析 根据A、B、C三点坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出D和E的坐标，设点G的坐标为（m，0），则点M的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），点N的坐标为（1，$\frac{1}{4}$m²-m-3），根据以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形，即可找出关于m的含绝对值符合的一元二次方程，解之即可得出m值，将其代入点G的坐标中即可得出结论．

解答 解：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A（-2，0）、B（6，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
∵y=$\frac{1}{4}$x²-x-3=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4，
∴点D的坐标为（2，-4），点E的坐标为（1，-2），
∴直线EF的解析式为x=1．
设点G的坐标为（m，0），则点M的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），点N的坐标为（1，$\frac{1}{4}$m²-m-3），
∵以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形，
∴|m-1|=|$\frac{1}{4}$m²-m-3|，
解得：m₁=4-2$\sqrt{6}$，m₂=4+2$\sqrt{6}$，m₃=-4，m₄=4．
∴点G的坐标为（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．
故答案为：（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质以及解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．