题目内容
19．已知：正方形纸片ABCD的边长为4，将该正方形纸片沿EF折叠（E，F分别在AB，CD边上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P．（1）如图①，连接PE，若M是AD边的中点．①图中与△PMD相似的三角形是△AME∽△DPM，△MPD∽△FPN，△EMP∽△MDP；
②求△PMD的周长．
（2）如图②，随着落点M在AD边上移动（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明你的理由．
分析 （1）①依据两组角对应相等的三角形相似可证明△AEM∽△DMP，△PFN∽△PMD，然后依据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△EMP∽△MDP即可；②设AE=x，则EM=4-x，在Rt△AEM中，依据勾股定理可求得x的值，然后可求得△AEM的周长，然后依据相似三角形的周长比等于相似比求解即可；
（2）设AM=m，AE=n，则DM=4-m，EM=4-n．在Rt△AEM中，依据勾股定理和完全平方公式可得到8n=16-m2，然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周长．
解答 解：（1）①依据翻折的性质可知∠EMP=∠B=90°，∠C=∠N=90°
∴∠AME+∠PMD=90°．
又∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠PMD．
又∵∠A=∠D，
∴△AME∽△DPM．
∵∠MPD=∠FPN，∠D=∠N=90°
∴△MPD∽△FPN．
∵△AME∽△DPM，
∴$\frac{AM}{ME}=\frac{DP}{MP}$．
又∵AM=MD，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{DP}{MP}$．
又∵∠EMP=∠D=90°，
∴△EMP∽△MDP．
故答案为：△AME∽△DPM，△AME∽△DPM，△EMP∽△MDP．
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4．
∵点M是AD边中点，
∴AM=DM=2．
由折叠的性质得：ME=BE，
∴△MEA的周长为6．
在Rt△MEA中，设AE=x，则ME=4-x．
∴x2+22=（4-x）2，解得：x=$\frac{3}{2}$．
∵△PMD∽△MEA，
∴$\frac{△PMD的周长}{△MEA的周长}$=$\frac{DM}{AE}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{△PMD的周长}{6}=\frac{4}{3}$．
∴△PMD的周长为8．
（2）△PMD的周长不变．
设AM=m，AE=n，则DM=4-m，EM=4-n，△AEM的周长=4+m．
在Rt△AME中，依据勾股定理可知：m2+n2=（4-n）2，即8n=16-m2．
∵△PMD∽△MEA，
∴$\frac{△PMD的周长}{△MEA的周长}$=$\frac{DM}{AE}$$\frac{4-m}{n}$．
∴△PMD的周长=$\frac{（4-m）（4+m）}{n}$=$\frac{16-{m}^{2}}{n}$=$\frac{8n}{8}$=8．
点评 本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质和判定，翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
黄冈小状元解决问题天天练系列答案
三点一测快乐周计划系列答案| A． | 第17个数 | B． | 第18个数 | C． | 第19个数 | D． | 第20个数 |
如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF=50°，∠DAF=50°．| A． | 5 | B． | -5 | C． | 1 | D． | -1 |
如图，一抛物线经过点A（-2，0），B（6，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点，过OD的中点E，作EF⊥x轴于点F，G为x轴上一动点，M为抛物线上一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，点G的坐标为（4-2$\sqrt{6}$，0）、（-4，0）、（4+2$\sqrt{6}$，0）或（4，0）．