Question

3．己知二次函数y=ax²-ax-x（a≠0）
（1）若对称轴是直线x=1
①求二次函数的解析式；
②二次函数y=ax²-ax-x-t（t为实数）图象的顶点在x轴上，求t的值；
（2）把抛物线k₁：y=ax²-ax-x向上平移1个单位得到新的抛物线k₂，若a＜0，求k₂落在x轴上方的部分对应的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由对称轴是直线x=1，得到-$\frac{-（a+1）}{a}$=1，于是得到结论；②∵二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-t（t为实数）图象的顶点在x轴上，列方程得到t=-$\frac{9}{8}$；
（2）由y=ax²-ax-x向上平移1个单位得到新的抛物线k₂，得到新的抛物线k₂的解析式为y=ax²-ax-x+1，解方程得到x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$，于是得到结论．

解答 解：（1）①∵对称轴是直线x=1，
∴-$\frac{-（a+1）}{a}$=1，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴二次函数的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x；
②∵二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-t（t为实数）图象的顶点在x轴上，
∴（-$\frac{3}{2}$）²+4×$\frac{1}{2}$t=0，
∴t=-$\frac{9}{8}$；
（2）∵y=ax²-ax-x向上平移1个单位得到新的抛物线k₂，
∴新的抛物线k₂的解析式为y=ax²-ax-x+1，
∴当y=0时，ax²-ax-x+1=0，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴k₂落在x轴上方的部分对应的x的取值范围：$\frac{1}{a}$＜x＜1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，求二次函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．