Question

1．观察下列各运算：（$\sqrt{2}-1$）（$\sqrt{2}+1$）=1，（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}+\sqrt{2}$）=1，…
（$\sqrt{2007}-\sqrt{2006}$）（$\sqrt{2007}+\sqrt{2006}$）=1，
（$\sqrt{2008}-\sqrt{2007}$）（$\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$）=1．利用上面的规律计算
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2007}}$$+\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2008}}$．

Answer 1

分析 先分母有理化，求出以后合并同类二次根式，即可得出答案．

解答 解：原式=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）×（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+$\frac{1×（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）×（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{1×（\sqrt{2008}-\sqrt{2007}）}{（\sqrt{2008}+\sqrt{2007}）×（\sqrt{2008}-\sqrt{2007}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2008}$-$\sqrt{2007}$
=$\sqrt{2008}$-1．

点评 本题考查了二次根式的乘除法和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．