Question

16．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，则锐角∠C的度数为45°或75°或15°或30°．

Answer 1

分析 （1）当∠C为底角时，分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；当AB=BC时，根据AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，从而得出∠C的度数；
（2）当∠C为顶角时，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）当∠C为底角时，
①如图1，当AB=AC时，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠C=45°；
②如图2，当AB=BC时，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠C=75°；
③如图3，当AB=BC时，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DBA=30°，
∴∠C=15°；
（2）当∠C为顶角时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠C=30°，
∴∠C的度数为45°或75°或15°或30°；
故答案为：45°或75°或15°或30°．

点评 此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．