Question

7．观察下面一列数：1，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{9}$，$\frac{7}{16}$，…则第n个数为$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$（n为正整数）．

Answer 1

分析 设该数列第n个数为a_n，根据数列中数的变化找出变化规律“a_n=$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：设该数列第n个数为a_n，
观察，发现规律：a₁=1=$\frac{{1}^{2}-{0}^{2}}{{1}^{2}}$，a₂=$\frac{3}{4}$=$\frac{{2}^{2}-{1}^{2}}{{2}^{2}}$，a₃=$\frac{5}{9}$=$\frac{{3}^{2}-{2}^{2}}{{3}^{2}}$，a₄=$\frac{7}{16}$=$\frac{{4}^{2}-{3}^{2}}{{4}^{2}}$，…，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$（n为正整数）．
故答案为：$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$（n为正整数）．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数列中数的变化找出变化规律“a_n=$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$（n为正整数）”是解题的关键．