Question

3．将抛物线y=x²-1向左平移2个单位得到抛物线C₁，抛物线C₁与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为M．
（1）求A，B，M点的坐标；
（2）将图1中△AOC沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△AMC重叠的面积记为s，用m的代数式表示s．
（3）如图2，设S（-2，0），过点S任作直线EF交抛物线C₁于E，F两点，点P为EF的中点，求证：PF=PM．

Answer 1

分析 （1）根据平移的方法左加右减，写出抛物线的解析式即可解决问题．
（2）①当0＜m≤$\frac{3}{2}$时，根据s=S_△AFC-S_△NEC进行计算，②如图2中，当$\frac{3}{2}$＜m＜3时，根据s=${S}_{△A{O}_{1}N}$进行计算．
（3）利用方程组求出线段EF、点P坐标，根据两点距离公式求出PM，比较结果即可解决问题．

解答 解：（1）由题意抛物线C₁为y=（x+2）²-1=x²+4x+3，
令y=0得x²+4x+3=0，解得x=-1或-3，
∴点A（-1，0），点B（-3，0），顶点M坐标（-2，-1）．
（2）如图1中，当0＜m≤$\frac{3}{2}$时，

∵直线AC为y=x+3，直线MC为y=2x+3，点O₁（-m，0），
∴点N（-m，-m+3），点E（-m，-2m+3），点F（-$\frac{3}{2}$，0），
∴s=S_△AFC-S_△NEC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3-$\frac{1}{2}$（-m+3+2m-3）•m=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{9}{4}$．
如图2中，当$\frac{3}{2}$＜m＜3时，

∵AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∵∠AO₁N=90°，
∴∠O₁AN=∠O₁NA=45°，
∴AO₁=O₁N=3-m，
∴s=${S}_{△A{O}_{1}N}$=$\frac{1}{2}$（3-m）²．
综上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{9}{4}}&{（0＜m≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{1}{2}（3-m）^{2}}&{（\frac{3}{2}＜m＜3）}\end{array}\right.$．
（3）如图3中，

设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），直线EF为y=kx+b，把点S（-2，0）代入得到，b=2K，
∴直线EF为y=kx+2k．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k}\\{y={x}^{2}+4x+3}\end{array}\right.$消去y得x²+（4-k）x+3-2k=0，
∴x₁+x₂=k-4，x₁x₂=3-2k，y₁+y₂=k²，y₁y₂=（kx₁+2k）（kx₂+2k）=k²x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=-k²，
∴点P坐标（$\frac{k-4}{2}$，$\frac{{k}^{2}}{2}$），∵点M（-2，-1），
∴PM=$\sqrt{（\frac{k-4}{2}+2）^{2}+（\frac{{k}^{2}}{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{4}+5{k}^{2}+4}$．
EF=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（k-4）^{2}-4（3-2k）+{k}^{4}+4{k}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{4}+5{k}^{2}+4}$，
∴PM=$\frac{1}{2}$EF=PF．

点评 本题考查二次函数、一次函数、平移、三角形面积，根与系数的关系等知识，正确画出图形是解决问题的关键，掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，有一定的代数化简技巧，属于中考压轴题．