Question

8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB绕点B逆时针旋转60°得到△BO′B′，AB与弧OO′相交于点E，若AD=2，则图中阴影部分的面积是$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由旋转得到∠B′BE=60°，BE=BO，BB′=AB，求出S_扇形ABB′和S_△BB′E即可．

解答 解：由题意可得，BB′=BA=AD=2，
∴BO=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{2}$，
∴BO′=$\sqrt{2}$，
由旋转有，∠B′BE=60°，BE=BO，BB′=AB
S_△BB′E=$\frac{1}{2}$BE×BB′SIN∠B′BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2×sin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
S_扇形ABB′=$\frac{60×π{×AB}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_阴影=S_扇形ABB′-S_△BB′E=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题是旋转和扇形面积的简单综合题，主要考查了旋转的性质和扇形面积的计算．