Question

6．如图，一次函数y=kx+1（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（1，2），直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点C，D．
求：（1）一次函数与反比例函数的表达式；
（2）△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式，利用待定系数即可得出结论；
（2）由直线l⊥x轴于点N（3，0）得出直线l的函数解析式，令x=3即可求出C、D点的坐标，根据（1）的结论可求出点B的坐标，结合点到直线的距离和三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=kx+1得k+1=2，解得k=1，
所以一次函数关系式为y=x+1；
把A（1，2）代入y=$\frac{m}{x}$（m≠0）得，2=$\frac{m}{1}$，解得m=2，
所以反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵直线l⊥x轴于点N（3，0），
∴直线l的解析式为x=3．
令x=3，则y_C=3+1=4，即点C的坐标为（3，4）；
令x=3，则y_D=$\frac{2}{3}$，即点D的坐标为（3，$\frac{2}{3}$）．
将y=x+1代入y=$\frac{2}{x}$中得x+1=$\frac{2}{x}$，解得x=-2，或x=1，
y=-2+1=-1，即点B的坐标为（-2，-1）．
线段CD=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，点B到直线l的距离h=$\frac{|-2-3|}{1}$=5，
△BCD的面积S=$\frac{1}{2}$CD•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×5=$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）确定B、C、D三点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据求出各交点的坐标是关键．