Question

如图，在△ABC中，AB与AC的中点分别为P，N，延长BC至点D，使CD＞BC，若M为BD的中点，Q为MN的中点，求证：直线PQ平分线段CD．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接NP，延长PQ交AB于E，连接NE、PM、AD四边形NEMP是平行四边形，然后根据三角形的中位线定理证明AD∥NE∥PM，根据平行线等分线段定理证明．

解答： 证明：连接NP，延长PQ交AB于E．
在三角形BCD中，P、N分别为BD、CD中点，
∴NP∥BC，且NP=

1

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BC；
∵NP∥ME，
∴△NPQ∽△MEQ，
又∵NQ=MQ，
∴△NPQ≌△MEQ；
∴EM=PN，
又∵NP∥ME，
∴四边形NEMP是平行四边形，
∴NE∥PM．
又∵P和M分别是AB和BD的中点，即PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AD，
∴AD∥NE，
又∵N是AC的中点，
∴E是CD的中点，即直线PQ平分线段CD．

点评：本题考查了平行线等分线段定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线是关键．