Question

3．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=4，DC=5，AB=8．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．设运动时间为t秒，当△PQB为等腰三角形时，t的值为$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$或4．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．

解答 解：如图1，作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
cos∠B=$\frac{3}{5}$，
①当PQ=PB时（如图2所示），则BG=$\frac{1}{2}$BQ，$\frac{BG}{PB}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-t）}{t}$=$\frac{3}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{11}$s，
②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG=$\frac{1}{2}$PB，$\frac{BG}{BQ}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{8-t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{48}{11}$s，
③当BP=BQ时（如图4所示），则8-t=t，
解得：t=4．
综上所述：当t=$\frac{40}{11}$s，$\frac{48}{11}$s或t=4s时，△PQB为等腰三角形．

故答案为：$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$或4．

点评 本题主要考查了勾股定以及等腰三角形的性质，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．