Question

1．计算：$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）}$+…+$\frac{\frac{1}{2010}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2010}）}$．

Answer 1

分析 先计算分母小括号里面的加法，再约分计算分母，再约分计算各分数得到原式=$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{2010×2011}$，再拆分抵消即可求解．

解答 解：$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）}$+…++…+$\frac{\frac{1}{2010}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2010}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}}$+…+$\frac{\frac{1}{2010}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{2011}{2010}}$
=$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{2010×2011}$
=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$）
=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2011}$）
=2×$\frac{2009}{4022}$
=$\frac{2009}{2011}$．

点评 考查了有理数的混合运算，本题难度和计算量较大，关键是变形得到原式=$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{2010×2011}$．