Question

10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-（x-2）（x-k）（k＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E．
（1）如图1，当AB=2时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接CD，过点O作CD的垂线，交抛物线y=-（x-2）（x-k）的对称轴于点F，求点F的纵坐标；
（3）在（1）的条件下，如图3，点P为在x轴下方，且在抛物线的对称轴右侧抛物线上的一动点，连接AP，当∠PAB=∠OCP时，求tan∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）令y=-（x-2）（x-k）=0，则x₁=2，x₂=k，根据k＞2，点A在点B的左侧可得出A、B两点的坐标，由AB=2可求出k的值，进而得出函数解析式；
（2）把函数解析式化为顶点式的形式可得出其顶点坐标与对称轴方程，过顶点D作DM⊥Oy，垂足为M，由OF⊥CD，∠FOE=∠OCD，由锐角三角函数的定义可求出EF的长，故可得出F点的坐标；
（3）由（1）知y=-x²+6x-8，A（2，0）、B（4，0），设P（m，-m²+6m-8），过点P作PN⊥Oy垂足为N，PG⊥Ox垂足为G，根据∠PAB=∠OCP可求出m的值，根据△PAG为等腰直角三角形可得出PH的长，由锐角三角函数的定义可得出结论．

解答 解：（1）∵令y=-（x-2）（x-k）=0，
∴x₁=2，x₂=k，
∵k＞2，点A在点B的左侧，
∴A（2，0），B（k，0）
∵AB=2，
∴k-2=2，
∴k=4，
∴y=-（x-2）（x-4）=-x²+6x-8，
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-8．

（2）∵y=-（x-2）（x-k）=-x²+（k+2）x-2k=-（x-$\frac{k+2}{2}$）²+$\frac{（k-2）^{2}}{4}$
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{k+2}{2}$，$\frac{{（k-2）}^{2}}{4}$），
抛物线的对称轴为直线x=$\frac{k+2}{2}$．
如图1，过顶点D作DM⊥Oy，垂足为M，
∵OF⊥CD，
∴∠FOE=∠OCD，
tan∠COD=$\frac{DM}{MC}$=$\frac{OE}{MC}$=$\frac{OE}{\frac{（k-2）^{2}}{4}-（-2k）}$=$\frac{OE}{（\frac{k+2}{2}）^{2}}$，
∴tan∠EOF=$\frac{EF}{OE}$，
∴$\frac{OE}{（\frac{k+2}{2}）^{2}}$=$\frac{EF}{OE}$，
∴$\frac{\frac{k+2}{2}}{{（\frac{k+2}{2}）}^{2}}$=$\frac{EF}{\frac{k+2}{2}}$，
∴EF=1，
∴F（$\frac{k+2}{2}$，-1），
∴点F的纵坐标为-1；

（3）由（1）知y=-x²+6x-8，A（2，0）、B（4，0），
设P（m，-m²+6m-8），如图2，过点P作PN⊥Oy垂足为N，PG⊥Ox垂足为G，
tan∠PAB=$\frac{PG}{DA}$=$\frac{{m}^{2}-6m+8}{m-2}$=$\frac{（m-4）（m-2）}{m-2}$=m-4，
tan∠OPC=$\frac{PN}{CN}$=$\frac{m}{-+6m-8-（-8）}$=$\frac{m}{-m+6m}$=$\frac{1}{6-m}$，
∵∠PAB=∠OCP，
∴$\frac{1}{6-m}$=m-4，即m²-10m+25=0，
∴m=5，
∴P（5，-3）
∴AG=5-2=3，
∴△PAG为等腰直角三角形．
过点B作BH⊥AP，则BH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，AP=3$\sqrt{2}$，
∴PH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠APB=$\frac{BH}{PH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠APB的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难度较大，在解答此题时要注意辅助线的做法，先构造出直角三角形，再利用锐角三角函数的定义解答．