Question

19．你能化简（x-1）（x²⁰¹³+x²⁰¹²+x²⁰¹¹+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
由此猜想：第100个式子（x-1）（x¹⁰⁰+x⁹⁹+…+x+1）=x¹⁰¹-1．
（2）请你利用上面的猜想，化简：
2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+…+2+1．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；
第100个式子为（x-1）（x¹⁰⁰+x⁹⁹+…+x+1）=x¹⁰¹-1；

（2）2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+…+2+1
=（2-1）（2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+…+2+1）
=2²⁰²⁰-1．
故答案为：（1）x²-1、x³-1、x⁴-1、（x-1）（x¹⁰⁰+x⁹⁹+…+x+1）=x¹⁰¹-1．

点评 此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．